Négy Szín Tétel
Legyen ez a két szín ''piros'' és ''kék''. Hasonlóan M 1 + M 3 tartományai is jól színezhetők két színnel. Legyen ez ''világos'' és ''sötét''. Így a síkot kétszer is kiszíneztük, speciálisan a G gráf lerajzolásának minden tartománya kétszer is színt kapott. Egy tartomány kapott színpárja négyféle lehet: ''világoskék'', ''világospiros'', ''sötétkék'', ''sötétpiros''. Ez egy jó 4 -színezése G -tartományainak, mivel bármelyik két szomszédos tartomány M 1 + M 2 -ben vagy M 1 + M 3 -ben is külöböző tartományba esik, így színeiknek már ezen komponense is megkülönbözteti őket. A 4CT tartományszínezési változata 3 -reguláris gráfokra ⇒ (i): Tehát tudjuk, hogy a G kétszeresen élösszefügggő, 3 -reguláris síkgráf tartományait jól 4 -színezhetjük. Legyen 1, 2, 3, 4 a felhasznált színek. Legyen Belátjuk, hogy ekkor M 1, M 2, M 3 teljes párosítások G -ben és diszjunktak. A diszjunktság triviális a definíciókból. Először azt igazoljuk, hogy M 1, M 2, M 3 párosítások: Tegyük fel, hogy e, f ∈ M i valamely i = 1, 2, 3 esetén és az x csúcs illeszkedik e -re és f -re is.
Négy szín tétel
Az 1976-ban Appel és Haken matematikusok által nyilvánosságra hozott bizonyítás 135 oldalból (2500 diagrammal) valamint 400 mikrokártyából állt, továbbá egy számítógépes programból, ami 1200 órán keresztül futott. Az azóta eltelt idő során azonban annyi hibát találtak az anyagban, hogy sok vezető matematikus már nem kettejüket tekinti a tétel első bizonyítójának. 1996-ban algoritmusok segítségével sikerült jelentősen csökkenteni az elrendezések számát, 2004-re pedig kifejlesztettek külön erre a célra egy tételbizonyító rendszert, amely még pontosabb ellenőrzést tett lehetővé. A négyszín-tételnek gyakorlati haszna a térképészetben nincs, ugyanis a térképkészítők nem törekednek a színhasználat minimalizálására. Matematikában pedig legfőképp a gráfelméletben kap szerepet. Az ilyen bizonyításoknak azonban sokfajta gyakorlati haszna lehet: ezek által olyan módszerek birtokába juthatnak a terület szakemberei, amelyek segítségével más, gyakorlatilag is fontos problémákat oldhatnak meg.
Egy háromszögmentes síkgráf, a "bidiakis cube" ( LCF: [-6, 4, -4] 4 (wd)) 3-színezése. A matematika, azon belül a gráfelmélet területén a Grötzsch-tétel az az állítás, ami szerint bármely háromszögmentes síkgráf kiszínezhető mindössze három szín segítségével. A négyszíntétel garantálja, hogy az élek metszése nélkül síkba lerajzolható gráfok csúcsai legfeljebb négy különböző színnel kiszínezhetők úgy, hogy egyik csúcsnak se legyen vele azonos színű szomszédja – a Grötzsch-tétel szerint olyan síkgráfnál, mely nem tartalmaz egymással kölcsönösen szomszédos három csúcsot, erre három szín is elegendő. Története [ szerkesztés] A tétel az 1959-ben azt kimondó és bizonyító Herbert Grötzsch német matematikusról kapta nevét. Grötzsch eredeti bizonyítása meglehetősen bonyolult volt. ( Berge 1960) megkísérelte leegyszerűsíteni, de bizonyításába hibák csúsztak. [1] 2003-ban Carsten Thomassen [2] egy kapcsolódó tételből kísérelt meg alternatív bizonyítást nyerni: bármely legalább 5 derékbőségű síkgráf 3-listaszínezhető.
Az ismertebbek közül a Grötzsch-gráf és a Chvátal-gráf színezéséhez négy színre van szükség, és a Mycielski-konstrukció segítségével tetszőlegesen magas kromatikus számú háromszögmentes gráfok szerkeszthetők. A tétel nem általánosítható az összes K 4 -mentes síkgráfra sem: nem minden 4 színt igénylő síkgráf tartalmazza a K 4 -et. Sőt, létezik 4 hosszúságú kört nem tartalmazó síkgráf, amit nem lehet 3-színezni. Faktorizálás homomorfizmussal Egy G gráf 3-színezése leírható úgy is, mint a G -ből a K 3 -ba irányuló gráfhomomorfizmus. A homomorfizmusok nyelvén megfogalmazva a Grötzsch-tétel kimondja, hogy minden háromszögmentes síkgráfhoz tartozik azt a K 3 -ba átvivő homomorfizmus. Naserasr megmutatta, hogy minden háromszögmentes síkgráfnak létezik homomorfizmusa, ami a 4-kromatikus Clebsch-gráfba viszi át. A két eredmény összevonásával megmutatható, hogy minden háromszögmentes síkgráfnak van homomorfizmusa egy háromszögmentes 3-színezhető gráffal, méghozzá a K 3 és a Clebsch-gráf kategóriai (tenzor) szorzata.
- Nemzeti Egészségbiztosítási Alapkezelő - Törzsek
- Vegyes savanyúság tartósítószer nélkül
- Szemüveg támogatás önkormányzat Archives - 24 óra! - Friss hírek, családi pénzügyek
- Kiadó lakás balassagyarmat
Számokról és alakzatokról - Google Könyvek
Ekkor a gráf színezése visszanyerhető ennek a homomorfizmusnak és a kategóriai szorzat és a K 3 faktorral való homomorfizmusnak a függvénykompozíciójával. Mivel azonban sem a Clebsch-gráf, sem annak K 3 -mal való kategóriai szorzata nem síkba rajzolható, nem létezik olyan háromszögmentes síkgráf, amibe minden más háromszögmentes síkgráf homomorfizmussal átvihető. Geometriai ábrázolás ( de Castro et al. 2002) eredménye összegzi Grötzsch tételét a Scheinerman-tétellel, miszerint a síkgráfok reprezentálhatók egyenesszakaszok metszetgráfjaként. Sikerült bizonyítaniuk, hogy minden háromszögmentes síkgráf reprezentálható legfeljebb három különböző irányú egyenesszakaszokkal oly módon, hogy a gráf két csúcsa pontosan akkor szomszédos, ha az őket reprezentálható egyenesszakaszok metszik egymást. A gráf 3-színezése megkapható úgy, hogy két csúcsot akkor színezünk egyformára, ha a hozzájuk tartozó szakaszok ugyanolyan irányultságúak. Számítási bonyolultság Adott háromszögmentes síkgráf 3-színezése lineáris időben megtalálható.
Egy háromszögmentes síkgráf, a "bidiakis cube" (LCF: [-6, 4, -4] 4 (wd)) 3-színezése. A matematika, azon belül a gráfelmélet területén a Grötzsch-tétel az az állítás, ami szerint bármely háromszögmentes síkgráf kiszínezhető mindössze három szín segítségével. A négyszíntétel garantálja, hogy az élek metszése nélkül síkba lerajzolható gráfok csúcsai legfeljebb négy különböző színnel kiszínezhetők úgy, hogy egyik csúcsnak se legyen vele azonos színű szomszédja – a Grötzsch-tétel szerint olyan síkgráfnál, mely nem tartalmaz egymással kölcsönösen szomszédos három csúcsot, erre három szín is elegendő. Története A tétel az 1959-ben azt kimondó és bizonyító Herbert Grötzsch német matematikusról kapta nevét. Grötzsch eredeti bizonyítása meglehetősen bonyolult volt. ( Berge 1960) megkísérelte leegyszerűsíteni, de bizonyításába hibák csúsztak. 2003-ban Carsten Thomassen egy kapcsolódó tételből kísérelt meg alternatív bizonyítást nyerni: bármely legalább 5 derékbőségű síkgráf 3-listaszínezhető. A Grötzsch-tétel azonban nem terjed ki a listaszínezésre: léteznek olyan háromszögmentes síkgráfok, melyek nem 3-listaszínezhetők.
Ha egy térképen pl. 100 ország van, akkor 100 színnel biztosan jól színezhető. De szükséges-e ilyen sok szín? Ha az országaink olyanok, hogy mindegyiknek van egy-egy része mindegyikben, akkor igen, hiszen valamennyi lehet valahol szomszédos. Talán az országok feldaraboltsága miatt van szükségünk ilyen sok színre? Zárjuk most ki ezt a lehetőséget! Nevezzünk egy térképet normál térképnek, ami azt jelenti, hogy bármely országának két tetszőleges pontja összeköthető az országon belül haladó útvonallal. Ilyen országokat összefüggőknek mondunk. Több mint 100 éve Cayley vetette fel a problémát: vajon hány szín elegendő bármilyen normál térkép jó színezéséhez? A 2. ábrán látható normál térkép négy országának jó színezéséhez 4 szín szükséges, hiszen a négy ország közül bármely kettőnek van közös határa, azaz a négy ország páronként szomszédos. A kérdéses minimális színszám tehát legalább 4. Az eddig felrajzolt normál térképek mindegyikét sikerült 4 színnel jól színezni, de a mai napig senki sem tudta bizonyítani, hogy 4 szín minden normál térkép jó színezéséhez elegendő.